Question

已知函数f（x）=x+

1

x

，若关于x的方程f²（x）-（m+1）f（x）+2m=0有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是多少？

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：令t=f（x）=x+

1

x

，则 t≥2，或t≤-2，关于t的一元二次方程t²-（m+1）t+2m=0有两个实数根，且这2个实数根大于2或小于-2．令f（t）=t²-（m+1）t+2m，再分①若这两个根都大于2，②若这两个根都小于-2，若这两个根一个大于2，另一个小于-2，三种情况，分别求得m的范围，再取并集，即得所求．

解答： 解：∵关于x的方程f²（x）-（m+1）f（x）+2m=0
有4个不同的实数根，
令t=f（x）=x+

1

x

，则 t≥2，或t≤-2，
故关于t的一元二次方程t²-（m+1）t+2m=0有两个实数根，且这2个实数根大于2或小于-2．
令f（t）=t²-（m+1）t+2m，
①若这两个根都大于2，
则由

△=(m+1)2-8m＞0 m+1 2 ＞2 f(2)=2＞0

，求得 m＞2+

3

．
②若这两个根都小于-2，
则由

△=(m+1)2-8m＞0 m+1 2 ＜-2 f(-2)=4m+6＞0

，求得 m∈∅．
③若这两个根一个大于2，另一个小于-2，则由

f(-2)=4m+6＜0 f(2)=2＜0

，可得m∈∅．
综上可得，m的范围为（2+

3

，+∞）．

点评：本题主要考查方程根的个数判断，体现了转化、分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．