Question

19．已知直线l₁：2x-y-4=0与直线l₂：x+y-2=0相交于点P，求：
（1）以点P为圆心，半径为1的圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过点M（1，3）的直线l与圆C相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）联立方程组求出公共解，求出P的坐标，结合圆的标准方程即可得到结论．
（2）设出直线的斜率，利用直线和圆相切的等价条件进行求解即可求直线l的方程．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-4=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，即P（2，0），
则以点P为圆心，半径为1的圆C的方程为（x-2）²+y²=1；
（2）在（1）的条件下，过点M（1，3）的直线l与圆C相切，
若直线斜率不存在，则此时直线方程为x=1，圆心到直线x=1的距离d=2-1=1，此时直线和圆相切，满足条件，
若直线斜率k存在，则此时直线方程为y-3=k（x-1），
即kx-y+3-k=0，
圆心到直线kx-y+3-k=0的距离d=$\frac{|2k+3-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|k+3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
平方得k²+6k+9=1+k²，
即6k=-8，得k=-$\frac{8}{6}$=-$\frac{4}{3}$，
则此时直线的方程为-$\frac{4}{3}$x-y+3-（-$\frac{4}{3}$）=0，即4x+3y-13=0，
综上直线l的方程为4x+3y-13=0或x=1．

点评 本题主要考查圆的标准方程以及直线和圆的位置关系的应用，根据直线相切转化为圆心到直线的距离等于半径是解决本题的关键．