Question

如图甲所示，点E为矩形ABCD边CD的中点，AB=2，AD=

2

，将△ADE沿AE折起到△AD₁E的位置，使得D₁-AE-B为直二面角，连接BD₁，
CD₁--得到如图乙所示的几何体．
（1）证明：AE⊥BD₁；
（2）求二面角D₁-BC-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）过点D₁作D₁O⊥AE，交AE于点O，连结BO，由已知得D₁O⊥平面ABCE，AD₁=

2

，D₁E=1，AE=BE=

3

，D₁O=

2 ×1

3

=

6

3

，AO=

2- 2 3

=

2 3

3

，EO=

1- 2 3

=

3

3

，BO=

2 6

3

，从而得到AO⊥BO，进而得到AE⊥平面BOD₁，由此能证明AE⊥BD₁．
（2）以O为原点，OB为x轴，OE为y轴，OD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D₁-BC-A的余弦值．

解答： （1）证明：过点D₁作D₁O⊥AE，交AE于点O，连结BO，
∵点E为矩形ABCD边CD的中点，AB=2，AD=

2

，
将△ADE沿AE折起到△AD₁E的位置，
使得D₁-AE-B为直二面角，
∴D₁O⊥平面ABCE，AD₁=

2

，D₁E=1，AE=BE=

3

，
D₁O=

2 ×1

3

=

6

3

，AO=

2- 2 3

=

2 3

3

，
EO=

1- 2 3

=

3

3

，
cos∠BAO=

AB2+AE2-BE2

2AB•AE

=

4+3-3

2×2× 3

=

1

3

，
BO=

AB2+AO2-2AB•AO•cos∠BAO

=

4+ 4 3 -2×2× 2 3 3 × 1 3

=

2 6

3

，
∴AO²+BO²=AB²，∴AO⊥BO，
∴∠BOD₁是直二面角D₁-AE-B的平面角，
∴∠BOD₁=90°，
∵BO⊥AE，D₁O⊥AE，BO∩OD₁=O，
∴AE⊥平面BOD₁，∵BD₁?平面BOD₁，
∴AE⊥BD₁．
（2）解：以O为原点，OB为x轴，OE为y轴，OD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
D₁（0，0，

6

3

），B（

2 6

3

，0，0），C（

6

3

，

2 3

3

，0），

D1B

=（

2 6

3

，0，-

6

3

），

D1C

=（

6

3

，

2 3

3

，-

6

3

），
设平面D₁BC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • D1B = 2 6 3 x- 6 3 z=0 n • D1C = 6 3 x+ 2 3 3 y- 6 3 z=0

，
取x=1，得

n

=（1，

2

2

，2），
又平面ABC的法向量

m

=（0，0，1），
设二面角D₁-BC-A的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

2

1+ 1 2 +4

|=

2 22

11

．
∴二面角D₁-BC-A的余弦值为

2 22

11

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．