Question

若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，则函数g（x）=f（x）-log₃|x|的零点个数为

 

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Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由g（x）=f（x）-log₃|x|=0，得f（x）=log₃|x|，利用条件求出函数f（x）的图象和性质，利用数形结合研究函数f（x）和y=log₃|x|两个函数图象的交点即可确定函数的零点个数．

解答： 解：设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，
则当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，
∴f（-x）=2^-x-1，
∵函数f（x）是偶函数，
∴f（-x）=2^-x-1=f（x），
即f（x）=2^-x-1，x∈[-1，0]，
由g（x）=f（x）-log₃|x|=0，得f（x）=log₃|x|，
∵y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，
∴作出函数f（x）和y=log₃|x|的图象如图：
两个图象的交点个数为4个，
故函数零点个数为4个．
故答案为：4．

点评：本题主要考查了周期函数与对数函数的图象，数形结合是高考中常用的方法，考查数形结合．