Question

17．已知不等式（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（-a，+∞）恒成立，则a的值为-1．

Answer 1

分析 依题意，通过分类讨论，得到$\left\{\begin{array}{l}{ax+2=0}\\{ln（x+a）=0}\end{array}\right.$时，（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（-a，+∞）恒成立，解方程$\left\{\begin{array}{l}{ax+2=0}\\{ln（x+a）=0}\end{array}\right.$即可得到答案．

解答 解：∵x∈（-a，+∞），
∴当-a＜x＜1-a时，y=ln（x+a）＜0，
当x＞1-a时，y=ln（x+a）＞0，
又（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（-a，+∞）恒成立，
①若a＞0，y=ax+2与y=ln（x+a）均为定义域上的增函数，
在x∈（-a，+∞）上，可均大于0，不满足题意；
②若a=0，则2lnx）≤0对x∈（0，+∞）不恒成立，不满足题意；
∴a＜0．
作图如下：

由图可知，当且仅当方程为y=ln（x+a）的曲线与方程为y=ax+2的直线相交于点A，
即满足$\left\{\begin{array}{l}{ax+2=0}\\{ln（x+a）=0}\end{array}\right.$时，（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（-a，+∞）恒成立，
解方程$\left\{\begin{array}{l}{ax+2=0}\\{ln（x+a）=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{a}}\\{x=1-a}\end{array}\right.$，解得a=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查函数恒成立问题，分析得到当$\left\{\begin{array}{l}{ax+2=0}\\{ln（x+a）=0}\end{array}\right.$时，（ax+2）•ln（x+a）≤0对x∈（-a，+∞）恒成立是关键，考查分类讨论思想与数形结合思想、等价转化思想的综合运用，考查逻辑思维与运算能力，属于难题．