Question

已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F₁、F₂，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂ 是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁、e₂，则e₁•e₂ 的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a₁=5+c，a₂=5-c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．

解答： 解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），
由于△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=10，
即有m=10，n=2c，
由椭圆的定义可得m+n=2a₁，
由双曲线的定义可得m-n=2a₂，
即有a₁=5+c，a₂=5-c，（c＜5），
再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，
可得c＞

5

2

，即有

5

2

＜c＜5．
由离心率公式可得e₁•e₂=

c

a1

•

c

a2

=

c2

25-c2

=

1

25 c2 -1

，
由于1＜

25

c2

＜4，则有

1

25 c2 -1

＞

1

3

．
则e₁•e₂ 的取值范围为（

1

3

，+∞）．
故答案为：（

1

3

，+∞）．

点评：本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．