已知|$\overrightarrow{a}$|=2.|$\overrightarrow{b}$|=3.(2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$)•(2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)=3．(1)求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=3．
（1）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值；
（2）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（3）求$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$方向上的投影．

分析（1）先求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，再根据夹角公式即可求出；
（2）根据模的计算方法即可求出；
（3）根据投影的定义即可求出．

解答解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=3，
∴4|$\overrightarrow{a}$|²-3|$\overrightarrow{b}$|²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{7}{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-\frac{7}{2}}{2×3}$=-$\frac{7}{12}$；
（2）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{4+9-7}$=$\sqrt{6}$；
（3）$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{a}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{a}}^{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{-\frac{7}{2}+4}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$．

点评本题考查了平面向量的数量积和夹角向量的模以及向量的投影的应用问题，是基础题目．