题目内容

20．如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，D、E分别为BC、CC1中点，BC1⊥B1D．
（1）求证：DE∥平面ABC1；
（2）求证：平面AB1D⊥平面ABC1．

分析 （1）推导出DE∥BC1，由此能证明DE∥平面ABC1．
（2）推民导出CC1⊥AD，AD⊥BC，从而AD⊥平面BCC1B1，进而AD⊥BC1，由此能证明平面AB1D⊥平面ABC1．

解答 证明：（1）∵D、E分别为BC、CC1中点，∴DE∥BC1，…（2分）
∵DE?平面ABC1，BC1?平面ABC1．
∴DE∥平面ABC1．…（6分）
（2）直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∵AD?平面ABC，
∴CC1⊥AD，…（8分）
∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，又∵CC1∩BC=C，CC1，BC?平面BCC1B1，
∴AD⊥平面BCC1B1，∵BC1?平面BCC1B1，∴AD⊥BC1，…（11分）
又∵BC1⊥B1D∩AD=D，B1D∩AD=D，B1D，AD?平面AB1D，
∴BC1⊥平面AB1D，
∵BC1?平面ABC1，∴平面AB1D⊥平面ABC1．…（14分）

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

练习册系列答案
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