Question

5．已知函数f（x）=mx²-mx-1．
（1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5-m无解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，则m=0，或$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\{m}^{2}+4m＜0\end{array}\right.$，解得答案；
（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5-m无解，即m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$无解，求出$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最大值，可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，
则m=0，或$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\{m}^{2}+4m＜0\end{array}\right.$，
解得：m∈（-4，0]，
（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5-m无解，
即mx²-mx-6+m＜0无解，
即m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$无解，
由x²-x+1∈[1，7]，
故$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最大值为6，
则m∈[6，+∞）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．