Question

10．关于x的方程2x²-4（m-1）x+m²+7=0的两根之差的绝对值小于2，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 由△≥求得m≥5，或 m≤-1，且两根之差的绝对值|x₁-x₂|＜2，求得m²-4m+7＜0的解集，综合可得m的范围．

解答 解：∵关于x的方程2x²-4（m-1）x+m²+7=0的两根之差的绝对值小于2，∴△=[-4（m-1）]²-8（m²+7）≥0，
即 m²-4m-5≥0，求得m≤-1或 m≥5 ①．
又x₁+x₂=2（m-1），x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}+7}{2}$，
故两根之差的绝对值|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{{[2（m-1）]}^{2}-4•\frac{{m}^{2}+7}{2}}$＜2，
即 m²-4m+7＜0，求得2-$\sqrt{11}$＜m＜2+$\sqrt{11}$ ②．
综合①②可得，2-$\sqrt{11}$＜m≤-1，或5≤m＜2+$\sqrt{11}$．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．