Question

17．在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点P在边AB上，点Q在AD上，△CPQ的面积为8，则∠PCQ的最大值是30°．

Answer 1

分析 设∠BCP=α，∠DCQ=β，则CP=$\frac{4}{cos}$，CQ=$\frac{6}{cosβ}$，由此能推导出2sin∠PCQ=cos（α-β），从而能求出∠PCQ的最大值是30°．

解答 解：设∠BCP=α，∠DCQ=β，
则CP=$\frac{4}{cos}$，CQ=$\frac{6}{cosβ}$，
∴${S}_{△CPQ}=\frac{1}{2}•\frac{4}{cosα}•\frac{6}{cosβ}•sin∠PCQ$=8，
∴3sin∠PCQ=2cosαcosβ，
∴3sin∠PCQ=cos（α+β）+cos（α-β），
∴$3sin∠PCQ=cos（\frac{π}{2}-∠PCD）$+cos（α-β），
∴2sin∠PCQ=cos（α-β），
∴sin∠PCQ=$\frac{1}{2}cos（α-β）≤\frac{1}{2}$，
当α=β时，等号成立，
∴∠PCQ≤30°，
∴则∠PCQ的最大值是30°．
故答案为：30°．

点评 本题考查角的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．