Question

下面一组图形为三棱锥P-ABC的底面与三个侧面．已知AB⊥BC，PA⊥AB，PA⊥AC．

（1）在三棱锥P-ABC中，求证：平面ABC⊥平面PAB；
（2）在三棱锥P-ABC中，M是PA的中点，且PA=BC=3，AB=4，求三棱锥P-MBC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据三视图得出空间几何体，运用判定定理证明，
（2）运用体积公式求解即可V_P-MBC=V_P-ABC-V_M-ABC．

解答： 证明：（1）如图，证明：∵PA⊥AB，PA⊥AC，
AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC，又∵PA?平面ABP
∴平面ABC⊥平面PAB
解：（2）∵PA=3，M是PA的中点，∴MA=

3

2

．
又∵AB=4，BC=3．
∴V_M-ABC=

1

3

S_△ABC•MA=

1

3

×

1

2

×4×3×

3

2

=3
又V_P-ABC=

1

3

S_△ABC•PA=

1

3

×

1

2

×4×3×3=6，
∴V_P-MBC=V_P-ABC-V_M-ABC=6-3=3

点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，判断面面垂直问题，秋季体积，属于中档题．