题目内容
11．利用定义证明：函数f（x）=x3-6x在区间[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]上是单调减函数．分析 根据减函数的定义，设任意的${x}_{1}，{x}_{2}∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，且x1＜x2，然后作差，分解因式，提取公因式x1-x2，从而证明f（x1）＞f（x2），这样即可得出f（x）在区间$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$上为单调减函数．
解答 证明：设${x}_{1}，{x}_{2}∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，且x1＜x2，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={{x}_{1}}^{3}-6{x}_{1}-{{x}_{2}}^{3}+6{x}_{2}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}-6）$；
∵${x}_{1}，{x}_{2}∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，且x1＜x2；
∴x1-x2＜0，${{x}_{1}}^{2}＜2，{{x}_{1}x}_{2}＜2，{{x}_{2}}^{2}≤2$，${{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}＜6$；
∴${{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}-6＜0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}-6）＞0$；
即f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在区间$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$上是单调减函数．
点评 考查减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，立方差公式，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后一般要提取公因式x1-x2．
练习册系列答案
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19．若三点A（4，3），B（5，a），C（6，b）共线，则下列结论正确的是（ ）
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