Question

2．如图1，在高为2的梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=5，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F．已知DE=1，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，得空间几何体ADE-BCF，如图2．

（Ⅰ）若AF⊥BD，证明：△BDE为直角三角形；
（Ⅱ）若DE∥CF，$CD=\sqrt{3}$，求平面ADC与平面ABFE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由AF⊥BE，AF⊥BD可得AF⊥平面BFE，得出AF⊥DE，结合DE⊥AE即可得出DE⊥平面ABFE，故而DE⊥BE；
（2）求出∠CFE的大小，以E为原点建立空间坐标系，求出平面ACD和平面ABFE的法向量，计算两法向量的夹角即可得出二面角的大小．

解答 （1）证明：连接BE，
由已知可知四边形ABFE是正方形，∴AF⊥BE，
又AF⊥BD，BE∩DE=E，
∴AF⊥平面BDE，又DE?平面BDE，
∴AF⊥DE，
又DE⊥AE，AE∩AF=F，
∴DE⊥平面ABFE，又BE?平面ABFE，
∴DE⊥BE，即△BDE为直角三角形．
（2）取CF的中点M，连结DM，则四边形DEFM是平行四边形，
∴DM=EF=2，CM=$\frac{1}{2}$CF=1，又CD=$\sqrt{3}$，
∴cos∠CMD=$\frac{1+4-3}{2×1×2}$=$\frac{1}{2}$，即∠CMD=∠CFE=60°，
过E作EG⊥EF，则EG⊥平面ABFE，
以E为原点，以EA，EF，EG为坐标轴建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C（0，1，$\sqrt{3}$），D（0，-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AC}$=（-2，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AD}$=（-2，-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面ACD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-2x+y+\sqrt{3}z=0}\\{-2x-\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{3}$得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\sqrt{3}$），
又GE⊥平面ABFE，∴$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）是平面ABFE的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
由图形可知平面ADC与平面ABFE所成角为锐二面角，
∴平面ADC与平面ABFE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．