Question

20．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D₁D=$\sqrt{2}$
（1）求证：AC⊥平面BB₁D₁D
（2）求四棱锥D₁-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BD，AC⊥DD₁，由此能证明AC⊥平面BB₁D₁D．
（2）四棱锥D₁-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}×D{D}_{1}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC⊥DD₁，
∵BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面BB₁D₁D．
解：（2）∵D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，
且AB=1，D₁D=$\sqrt{2}$，
∴四棱锥D₁-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}×D{D}_{1}$=$\frac{1}{3}×{1}^{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．