Question

4．对于函数f（x）定义域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），有如下结论：
①f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂），
②f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
③$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，
④$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）＞\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，
当f（x）=lnx时，上述结论中正确结论的序号是②④．

Answer 1

分析 利用对数的基本运算性质进行检验：①f（x₁+x₂）=ln（x₁+x₂）≠f（x₁）f（x₂）=lnx₁•lnx₂；
②f（x₁•x₂）=lnx₁x₂=lnx₁+lnx₂=f（x₁）+f（x₂）；
③f（x）=lnx在（0，+∞）单调递增，可得③f（x）=lnx在（0，+∞）单调递增，可得$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0；
④由基本不等式可得出；对于函数f（x）定义域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），有如下结论：$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）＞\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，

解答 解：对于①，∵f（x）=lnx，∴f（x₁+x₂）=ln（x₁+x₂），f（x₁）f（x₂）=lnx₁•lnx₂，
∴f（x₁+x₂）≠f（x₁）f（x₂），故错误；
对于②，∵f（x₁•x₂）=lg（x₁x₂）=lnx₁+lnx₂，f（x₁）+f（x₂）=lnx₁+lnx₂，∴f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），故正确；
对于③，f（x）=lnx在（0，+∞）上单调递增，则对任意的0＜x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂），即得$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，故错误；
对于④，∵x₁，x₂∈（0，+∞）（且x₁≠x₂），∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}＞\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，又f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴ln$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$$＞ln\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$∴$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）＞\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，故正确；
故答案为：②④．

点评 本题考查了对数的基本运算性质，对数函数单调性的应用与基本不等式的应用，是知识的简单综合应用问题，属于中档题．