题目内容

13．已知一个扇形的周长为定值a，求其面积的最大值，并求此时圆心角α的大小．

分析 设扇形的弧长，然后，建立关系式，结合二次函数的图象与性质求解最值即可．

解答 解：设扇形面积为S，半径为r，圆心角为α，则扇形弧长为a-2r，
所以S=$\frac{1}{2}$（a-2r）r=-$（r-\frac{a}{4}）^{2}$+$\frac{{a}^{2}}{16}$．
故当r=$\frac{a}{4}$且α=2时，扇形面积最大为$\frac{{a}^{2}}{16}$．

点评 本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识，属于基础题．

练习册系列答案
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3．已知函数y=x+$\frac{a}{x}$有如下性质：当a＞0时，函数在（0，$\sqrt{a}$]单调递减，在[$\sqrt{a}$，+∞）单调递增．定义在（0，+∞）上的函数f（x）=|t（x+$\frac{4}{x}$）-5|，其中t＞0．
（1）若函数f（x）分别在区间（0，2）和（2，+∞）上单调，求t的取值范围
（2）当t=1时，若方程f（x）-k=0有四个不相等的实数根x1，x2，x3，x4，求x1+x2+x3+x4的取值范围
（3）当t=1时，是否存在实数a，b且0＜a＜b≤2，使得f（x）在区间[a，b]上的取值范围是[ma，mb]，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
4．对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
①f（x1+x2）=f（x1）f（x2），
②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），
③$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，
④$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）＞\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，
当f（x）=lnx时，上述结论中正确结论的序号是②④．
1．已知集合A={x|x≥1}，B={x|x≥a}，若A$\underline?B$，则实数a的取值范围是（-∞，1]．
8．若不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件是1＜x＜2，则实数m的取值范围是[1，2]．
18．已知函数y=f（x）是奇函数．若当x＞0时，f（x）=x+lgx，则当x＜0时，f（x）=x-lg（-x）．
5．若a＞b＞c，a+b+c=0，则下列各是正确的是（　　）
A．ab＞acB．ac＞bcC．a|b|＞|b|cD．ab＞bc
2．在平面之间坐标系中，角α的终边经过点P（1，2）．
（1）求tanα的值；
（2）求$\frac{sinα+2cosα}{2sinα-cosα}$的值．
3．若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{an}满足${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}{a_n}+d，\frac{n}{k}∉{N^*}\\ q{a_n}，\frac{n}{k}∈{N^*}\end{array}\right.$则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．
（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．
①当q=0时，求b2016；
②当q=1时，设{bn}的前3n项和为S3n，若不等式${S_{3n}}≤λ•{3^{n-1}}$对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；
（2）设{bn}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．

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