Question

15．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．
（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）若AD=3DC，BC=$\sqrt{2}$，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．

解答 证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，
则∠BED+∠EDB=90°，
∵BC⊥DE，
∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，
∵AB切⊙O于点B，
∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，
则$\frac{BA}{BC}=\frac{AD}{CD}$=3，
∵BC=$\sqrt{2}$，
∴AB=3$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}=4$，
则AD=3，
由切割线定理得AB²=AD•AE，
即AE=$\frac{A{B}^{2}}{AD}=6$，
故DE=AE-AD=3，
即可⊙O的直径为3．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．