Question

20．在如图所示的四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠DAB=∠ABC=90°，SA=AB=BC=a，AD=3a（a＞0），E为线段BS上的一个动点．
（1）证明：DE和SC不可能垂直；
（2）当点E为线段BS的三等分点（靠近B）时，求二面角S-CD-E的余弦值．

Answer 1

分析 由题可知，可以直接建立空间直角坐标线证明位置关系和计算角．
（1）只要向量$\overrightarrow{DE}$$•\overrightarrow{SC}≠0$恒成立，即可说明DE和SC不可能垂直；也可用反证法：假设DE与SC垂直，即$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{SC}=0$，找出矛盾．
（2）求出平面SCD和平面CDE的法向量，用向量角的余弦值来反应二面角的大小．

解答 解：（1）∵SA⊥底面ABCD，∠DAB=90°，
∴AB、AD、AS两两垂直．故以A为原点，建立空间直角坐标系，如图  …（1分）
则S（0，0，a），C（a，a，0），D（0，3a，0）（a＞0），
∵SA=AB=a且SA⊥AB，
∴设E（x，0，a-x）其中0≤x≤a，…（2分）
∴$\overrightarrow{DE}=（x，-3a，a-x）$，$\overrightarrow{SC}=（a，a，-a）$，
假设DE和SC垂直，则$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{SC}=0$，…（4分）
即ax-3a²-a²+ax=2ax-4a²=0，解得x=2a，…（5分）
这与0≤x≤a矛盾，假设不成立，所以DE和SC不可能垂直   …（6分）
（2）∵E为线段BS的三等分点（靠近B），∴$E（\frac{2}{3}a，0，\frac{1}{3}a）$．
设平面SCD的一个法向量是$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
∵$\overrightarrow{CD}=（-a，2a，0）$，$\overrightarrow{SD}=（0，3a，-a）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{CD}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{SD}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-a{x_1}+2a{y_1}=0\\ 3a{y_1}-a{z_1}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=2{y_1}\\{z_1}=3{y_1}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n_1}=（2，1，3）$，…（8分）
设平面CDE的一个法向量是$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
∵$\overrightarrow{CD}=（-a，2a，0）$，$\overrightarrow{DE}=（\frac{2}{3}a，-3a，\frac{1}{3}a）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{CD}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{DE}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-a{x_2}+2a{y_2}=0\\ \frac{2}{3}a{x_2}-3a{y_2}+\frac{1}{3}a{z_2}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=2{y_2}\\{z_2}=5{y_2}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n_2}=（2，1，5）$，…（10分）
设二面角S-CD-E的平面角大小为θ，由图可知θ为锐角，
∴$cosθ=|cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞|=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{4+1+15}{{\sqrt{14}•\sqrt{30}}}=\frac{{2\sqrt{105}}}{21}$，
即二面角S-CD-E的余弦值为$\frac{{2\sqrt{105}}}{21}$…（12分）

点评 考查了用空间向量法分析空间位置关系．考查了用空间向量法求法向量、二面角的大小．考查了化归思想，空间想象能力，运算能力．本题能想到用向量法是解题的关键，在处理第一问的两直线不垂直问题有一定的技巧，且各棱没有明确的数值，用字母来表示长度，运算上有一定的难度，属于中档题．