Question

9．已知$\overrightarrow{a}$=（m-2）$\overrightarrow{i}$+2$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{i}$+（m+1）$\overrightarrow{j}$，其中$\overrightarrow{i}$、$\overrightarrow{j}$分别为x、y轴正方向单位向量．
（1）若m=2，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），求实数m的值．

Answer 1

分析 由已知，将$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$坐标化，利用平面向量的坐标运算解答即可．
（1）将m代入两个向量的坐标，进行数量积的坐标运算即可；
（2）分别求出$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的坐标，利用向量垂直数量积为0，求出m．

解答 解：因为$\overrightarrow{i}$、$\overrightarrow{j}$分别为x、y轴正方向单位向量，所以$\overrightarrow{a}$=（m-2，2），$\overrightarrow{b}$=（1，m+1），
所以（1）m=2时，$\overrightarrow{a}$=（0，2，），$\overrightarrow{b}$=（1，3），$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，所以$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为arccos$\frac{3\sqrt{10}}{10}$；
（2）$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（m-1，m+2），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（m-3，1-m），又（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），所以（m-1）（m-3）+（m+2）（1-m）=0，即-5m+5=0，解得m=1．

点评 本题考查了平面向量的运算；利用已知将向量坐标化使得运算简便．