Question

14．已知函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设函数g（x）=[f（x）]²-2，x∈[0，$\frac{π}{4}$]，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用辅助角公式化简，将已知函数解析式转化为正弦函数，根据正弦函数图象解答；
（Ⅱ）首项求得g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），利用正弦函数图象解题．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）
得：2kπ-$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），故f（x）的单调递增区间是：[2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）g（x）=[f（x）]²-2，
=4sin²（x+$\frac{π}{3}$）-2，
=4×$\frac{1}{2}$[1-cos（2x+$\frac{2π}{3}$）]-2，
=-2cos（2x+$\frac{2π}{3}$），
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的最大值是1，最小值是-2．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数图象．利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．