Question

12．等腰△ABC中，底边BC=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{BA}$-t$\overrightarrow{BC}$|的最小值为$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|，则△ABC的面积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得BC边上的高为$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|，利用直角三角形中的边角关系求得∠C=30°=∠B，可得∠A=120°，AB=AC，利用余弦定理求得AB=AC的值，可得△ABC的面积$\frac{1}{2}$•AB•AC•sin120° 的值．

解答 解：等腰△ABC中，底边BC=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{BA}$-t$\overrightarrow{BC}$|的最小值为$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|，则△ABC的面积
故BC边上的高为$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|，故有sin∠C=$\frac{\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{2}$，∴∠C=30°=∠B，∴∠A=120°，AB=AC，
∴${（2\sqrt{3}）}^{2}$=AB²+AC²-2AB•AC•cos120°，∴AB=AC=2，∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$•AB•AC•sin120°=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，直角三角形中的边角关系，余弦定理，属于中档题．