Question

设f（x）=

2x，x≤0 log2x，x＞0

关于x的方程是f²（x）-af（x）=0．
（1）若a=1，则方程有

 

个实数根；
（2）若方程恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：可以先分别画出函数f（x）与f（x）=log₂x的图象，然后结合图象的特征即可获得解答

解答： 解：作出函数作出函数f（x）=2^x与f（x）=log₂x的图象：

（1）a=1时，方程是f²（x）-af（x）=0可化为f²（x）-f（x）=0，
即f（x）[f（x）-1]=0，解得f（x）=0、f（x）=1，
方程f（x）=0的根为惟一根：x=1，
方程f（x）=1的根可看做函数y=1与函数y=f（x）图象交点的横坐标，如图：

从图象知：有两个交点，故方程f（x）=1的根有2个，
∴a=1时，则方程有3个实数根；
故答案为：3
（2）方程是f²（x）-af（x）=0可化为f（x）[f（x）-a]=0，解得f（x）=0、f（x）=a，
方程f（x）=0的根为惟一根：x=1、
方程f（x）=a的根可看做函数y=a与函数y=f（x）图象交点的横坐标，如图：

结合函数的图象：当0＜a≤1时，y=a与函数y=f（x）图象有2个交点，故方程f（x）=a有2个根，
∴当0＜a≤1时，方程是f²（x）-af（x）=0有3个根，
故答案为：0＜a≤1

点评：此题考查的是函数图象交点个数的问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想以及问题转化的思想．