Question

3．已知函数f（x）=a^x，（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）当a=2时，若函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+m，x＜1}\\{f（x），x≥1}\end{array}\right.$ 的最小值为2，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-1，1]上的图象位于直线y=2的下方，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2时，函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x+m，x＜1\\{2}^{x}，x≥1\end{array}\right.$，结合函数最小值为2，可得m-1≥2，解得实数m的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-1，1]上的图象位于直线y=2的下方，则$\left\{\begin{array}{l}{a}^{-1}＜2\\ a＜2\end{array}\right.$，解得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x+m，x＜1\\{2}^{x}，x≥1\end{array}\right.$，
当x＜1时，g（x）＞m-1，
当x≥1时，g（x）≥2，
若函数g（x） 的最小值为2，则m-1≥2，
∴m∈[3，+∞）
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-1，1]上的图象位于直线y=2的下方，
则$\left\{\begin{array}{l}{a}^{-1}＜2\\ a＜2\end{array}\right.$，
解得：a∈（$\frac{1}{2}$，1）∪（1，2）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，指数函数的图象和性质，难度中档．