题目内容

17.某数学研究性学习小组,在研究如下问题:“某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图中(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形,求f(n).”
甲小组的方案是:先计算f(1),f(2),f(3),f(4),f(5);再计算f(2)-f(1),f(3)-f(2),f(4)-f(3),f(5)-f(4);进而猜想f(n+1)-f(n)的关系式(不要证明);再利用累加法求得f(n);
乙小组的方案是:注意到该刺绣的图案从左到右,各列中的小正方形图案关于中间一列的小正方形图案左右对称,据此,从左到右,按各列的小正方形数,先列出f(n)的求和的式子,再对之求和;现请你任选其中的一种方案,计算f(n).(注意:必须完成方案中的每一个步骤)

分析 总结一般性的规律:f(n+1)与f(n)的关系式,再从总结出来的一般性的规律转化为特殊的数列再求解即得.

解答 解:根据甲的方案:
∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,f(5)=41,
∴f(2)-f(1)=4=4×1.
f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3,
f(5)-f(4)=16=4×4,
由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n,
∴f(2)-f(1)=4×1,
f(3)-f(2)=4×2,
f(4)-f(3)=4×3,
…
f(n-1)-f(n-2)=4•(n-2),
f(n)-f(n-1)=4•(n-1),
∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)]=2(n-1)•n,
∴f(n)=2n2-2n+1.

点评 本题主要考查归纳推理,其基本思路是先分析具体,观察,总结其内在联系,得到一般性的结论,若求解的项数较少,可一直推理出结果,若项数较多,则要得到一般求解方法,再求具体问题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网