Question

12．设矩阵A=$[\begin{array}{l}{m}&{0}\\{0}&{n}\end{array}]$，若矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$，属于特征值2的一个特征向量为$[\begin{array}{l}{0}\\{1}\end{array}]$，求矩阵A．

Answer 1

分析 由矩阵A=$[\begin{array}{l}{m}&{0}\\{0}&{n}\end{array}]$，若矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$，属于特征值2的一个特征向量为$[\begin{array}{l}{0}\\{1}\end{array}]$，列出矩阵方程组，求出m，n，由此能求出矩阵A．

解答 解：∵矩阵A=$[\begin{array}{l}{m}&{0}\\{0}&{n}\end{array}]$，矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$，
属于特征值2的一个特征向量为$[\begin{array}{l}{0}\\{1}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{[\begin{array}{l}{m}&{0}\\{0}&{n}\end{array}][\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]=1•[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]}\\{[\begin{array}{l}{m}&{0}\\{0}&{n}\end{array}][\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]=2•[\begin{array}{l}{0}\\{1}\end{array}]}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{[\begin{array}{l}{m}\\{0}\end{array}]=[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]}\\{[\begin{array}{l}{0}\\{n}\end{array}]=[\begin{array}{l}{0}\\{2}\end{array}]}\end{array}\right.$，
解得m=1，n=2，
∴矩阵A=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{array}]$．

点评 本题考查矩阵的求法，考查矩阵方程、特征值、特征向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．