Question

9．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为级轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$
（I）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C₁上的动点，求点P到曲线C₂上的距离的最小值的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数），利用平方关系可得曲线C₁的普通方程．由曲线C₂：ρsin（π+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展开可得：$ρ×\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）=4$\sqrt{2}$，利用互化公式可得直角坐标方程．
（Ⅱ）椭圆上的点$P（\sqrt{2}cosα，sinα）$到直线O的距离为$d=\frac{{|{\sqrt{2}cosα+sinα-8}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\sqrt{3}sin（α+φ）-8}|}}{{\sqrt{2}}}$，利用三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数），曲线C₁的普通方程为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
由曲线C₂：ρsin（π+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$，展开可得：$ρ×\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）=4$\sqrt{2}$，化为：x+y=8．
即：曲线B的直角坐标方程为：x+y=8．…（5分）
（Ⅱ）椭圆上的点$P（\sqrt{2}cosα，sinα）$到直线O的距离为$d=\frac{{|{\sqrt{2}cosα+sinα-8}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\sqrt{3}sin（α+φ）-8}|}}{{\sqrt{2}}}$
∴当sin（α+φ）=1时，P的最小值为$\frac{{8\sqrt{2}-\sqrt{6}}}{2}$．…（10分）

点评 本题考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．