Question

若二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足f（x+1）-f（x）=4x+1，且f（0）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[-1，1]上，不等式f（x）＞6x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用f（0）=3求出c，利用f（x+1）-f（x）=4x+1求出a，b，即可求f（x）的解析式；
（2）在区间[-1，1]上，不等式f（x）＞6x+m恒成立，转化为二次函数的闭区间上的最值，求解实数m的取值范围．

解答： 解：（1）由f（0）=3得，c=3．∴f（x）=ax²+bx+3．
又f（x+1）-f（x）=4x+1，∴a（x+1）²+b（x+1）+3-（ax²+bx+3）=4x+1，
即2ax+a+b=4x+1，
∴

2a=4 a+b=1

，∴

a=2 b=-1

．∴f（x）=2x²-x+3．
（2）f（x）＞6x+m等价于2x²-x+3＞6x+m，即2x²-7x+3＞m在[-1，1]上恒成立，
令g（x）=2x²-7x+3，则g（x）_min=g（1）=-2，∴m＜-2．

点评：本题考查函数的恒成立，二次函数闭区间上的最值的求法，函数的解析式的求法，考查计算能力．