题目内容
20．已知Rt△ABC中，直角边AC、BC的长度分别为20、15，动点P从C出发，沿三角形边界按C→B→A方向移动；动点Q从C出发，沿三角形边界按C→A→B方向移动，移动到两点相遇时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍．设动点P移动的距离为x，△CPQ的面积为y，试求y与x之间的函数关系．分析 根据点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍，得到动点Q移动的距离为2x，根据点P，Q的位置，结合三角形的面积公式进行求解即可．
解答 解：∵Rt△ABC中，AC=20，BC=15，
∴AB=25，sinB=$\frac{4}{5}$，cosB=$\frac{3}{5}$，
∵点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍，
∴设动点P移动的距离为x，则动点Q移动的距离为2x，
若两点相遇时，则满足x+2x=20+15+25，
即3x=60，即x=20．
①若Q在BC上，则0≤2x≤15，即0≤x≤$\frac{15}{2}$时，
△CPQ的面积为y=$\frac{1}{2}$•CQ•CP=$\frac{1}{2}•x•2x$=x2．
②若Q在AB上，P在CA上时，满足$\left\{\begin{array}{l}{15≤2x≤40}\\{0≤x≤20}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{15}{2}≤x≤20}\\{0≤x≤20}\end{array}\right.$．
解得$\frac{15}{2}$≤x≤20，
则BQ=2x-BC=2x-15，BE=BQcosB=（2x-15）×$\frac{3}{5}$=$\frac{3（2x-15）}{5}$，
则三角形CPQ的高QF=EC=BC-BE=15-$\frac{3（2x-15）}{5}$=$\frac{120-6x}{5}$，
则△CPQ的面积为y=$\frac{1}{2}$•QF•CP=$\frac{1}{2}•x•$$\frac{120-6x}{5}$=$\frac{-3{x}^{2}+60x}{5}$，
即y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{0≤x≤\frac{15}{2}}\\{\frac{-3{x}^{2}+60x}{5}，}&{\frac{15}{2}＜x≤20}\end{array}\right.$．
点评 本题主要考查函数的应用问题，根据条件结合点P，Q的位置关系，利用三角形的面积公式是解决本题的关键．
（1）若甲、乙、丙三支足球队实力相当，每两支球队比赛时，胜、平、负的概率均为$\frac{1}{3}$，
求甲队能保持不败的概率
（2）若甲、乙两队实力相当，且优于丙，具体数据如下表
若获胜一场积3分，平一场积1分，输一场积0分，记X表示甲队的积分，求X的分布列和数学期望
| 概率 事件 | 甲胜乙 | 甲平乙 | 甲输乙 |
| 概率 | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ |
| 概率 事件 | 甲胜丙 | 甲平丙 | 甲输丙 |
| 概率 | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |
| 概率 事件 | 乙胜丙 | 乙平丙 | 乙输丙 |
| 概率 | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |
| A． | （-∞，-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$）∪（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，+∞） | B． | [-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，0] | C． | （-∞，-3$\sqrt{2}$]∪[3$\sqrt{2}$，+∞） | D． | [0，$\frac{4\sqrt{2}}{3}$] |