题目内容
11．2015年2月27日，中央全面深化改革小组审议通过了《中国足球改革总体方案》，中国足球的崛起指日可待！已知有甲、乙、丙三支足球队，每两支球队要进行一场比赛，比赛之间相互独立．（1）若甲、乙、丙三支足球队实力相当，每两支球队比赛时，胜、平、负的概率均为$\frac{1}{3}$，
求甲队能保持不败的概率
（2）若甲、乙两队实力相当，且优于丙，具体数据如下表
若获胜一场积3分，平一场积1分，输一场积0分，记X表示甲队的积分，求X的分布列和数学期望
| 概率 事件 | 甲胜乙 | 甲平乙 | 甲输乙 |
| 概率 | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ |
| 概率 事件 | 甲胜丙 | 甲平丙 | 甲输丙 |
| 概率 | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |
| 概率 事件 | 乙胜丙 | 乙平丙 | 乙输丙 |
| 概率 | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |
分析 （1）甲队能保持不败，由指甲和乙、丙两队比赛时都没有失败，由此能求出甲队保持不败的概率．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，4，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
解答 解：（1）设事件A为“甲队能保持不败”，
由已知得P（A）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，
即甲队保持不败的概率为$\frac{4}{9}$．…（4分）
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，4，6，
P（X=0）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{6}=\frac{1}{18}$，
P（X=1）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{6}+\frac{1}{3}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{9}$，
P（X=2）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{18}$，
P（X=3）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{6}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{5}{18}$，
P（X=4）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{6}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{5}{18}$，
P（X=6）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，
∴X的分布列为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
| P | $\frac{1}{18}$ | $\frac{1}{9}$ | $\frac{1}{18}$ | $\frac{5}{18}$ | $\frac{5}{18}$ | $\frac{2}{9}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．
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