题目内容

12.函数y=x4+2ax3+4x2-1恰有3个极值,则实数a的取值范围是(  )
A.(-∞,-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$)∪($\frac{4\sqrt{2}}{3}$,+∞)B.[-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$,0]C.(-∞,-3$\sqrt{2}$]∪[3$\sqrt{2}$,+∞)D.[0,$\frac{4\sqrt{2}}{3}$]

分析 求函数的导数,结合函数极值和导数之间的关系进行求解即可.

解答 解:函数的导数f′(x)=4x3+6ax2+8x,
若y=x4+2ax3+4x2-1恰有3个极值,
则f′(x)=4x3+6ax2+8x=0有3个不同的根,
即2x(2x2+3ax+4)=0,有3个不同的根,
即2x2+3ax+4=0有2个不同的根,
则判别式△=9a2-4×2×4>0,
即9a2>32,
即a2>$\frac{32}{9}$,
解得a>$\sqrt{\frac{32}{9}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$或a<-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$,
故实数a的取值范围是(-∞,-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$)∪($\frac{4\sqrt{2}}{3}$,+∞),
故选:A

点评 本题主要考查函数极值的应用,根据函数的导数和极值之间的关系是解决本题的关键.

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