Question

5．已知函数f（x）=xa^x（a＞0且a≠1）有极大值$\frac{1}{2e}$，则a=$\frac{1}{{e}^{2}}$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，判断lna＜0，求得增区间和减区间，得到极大值点和极大值，由对数的运算性质，计算即可得到a的值．

解答 解：函数f（x）=xa^x（a＞0且a≠1）的导数为
f′（x）=a^x+xa^xlna=a^x（1+xlna），
由于f（x）有极大值$\frac{1}{2e}$，则lna＜0，
当x＜-$\frac{1}{lna}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＞-$\frac{1}{lna}$时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=-$\frac{1}{lna}$时，取得极大值，
且为-$\frac{1}{lna}$•${a}^{-\frac{1}{lna}}$=-$\frac{1}{lna}$•$\frac{1}{e}$=$\frac{1}{2e}$，
解得a=$\frac{1}{{e}^{2}}$．
故答案为：$\frac{1}{{e}^{2}}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力，正确求导和判断极值是解题的关键．