Question

8．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{b}$=（1，3），向量$\overrightarrow{a}\\;\\;与\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°．
（1）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的值；
（2）求向量$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$与向量-$\overrightarrow{a}$$+\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$的夹角的大小．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积的定义，求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值，可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$ 的值．
（2）向量$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$与向量-$\overrightarrow{a}$$+\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则由cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}|}$，求得cosθ的值，可得θ的值．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{b}$=（1，3），向量$\overrightarrow{a}\\;\\;与\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，∴|$\overrightarrow{b}$|=2，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1×2×cos120°=-1，
故|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{1+2+10}$=$\sqrt{13}$．
（2）设向量$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$与向量-$\overrightarrow{a}$$+\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则由cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|•|-\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}|}$=$\frac{{-\overrightarrow{a}}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\frac{1}{2}\overrightarrow{b}}^{2}}{\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}•\sqrt{\frac{{\overrightarrow{b}}^{2}}{4}{+\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$，即向量$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$与向量-$\overrightarrow{a}$$+\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$的夹角的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于中档题．