Question

已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为l：x=

1

2

，一条渐近线的方程是y=

3

x．过双曲线C的右焦点F₂的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若在l的左侧能作出直线m：x=a，使点R在直线m上的射影S满足

PS

•

QS

=0，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）设出渐近线方程是y=

3

x的双曲线方程为

x2

λ

-

y2

3λ

=1(λ＞0)，求出其右准线方程，由右准线为l：x=

1

2

求得λ的值，则双曲线C的方程可求；
（2）由S满足

PS

•

QS

=0，得△PSQ是直角三角形．由点R到直线m：x=a(a≤

1

2

)的距离为|RS|=

|PQ|

2

=xR-a，结合椭圆第二定义得|PQ|=4x_R-2，联立后再由R的横坐标大于等于2求解实数a的取值范围．

解答： 解：（1）由渐近线的方程是y=

3

x，可设双曲线C的方程为

x2

λ

-

y2

3λ

=1(λ＞0)，
则它的右准线方程为x=

λ

2 λ

，即x=

λ

2

．
∵右准线为l：x=

1

2

，
∴

λ

=1，则λ=1，
∴所求双曲线C的方程是x2-

y2

3

=1；
（2）∵点R在直线m上的射影S满足

PS

•

QS

=0，
∴PS⊥QS，即△PSQ是直角三角形．
∴点R到直线m：x=a(a≤

1

2

)的距离为|RS|=

|PQ|

2

=xR-a，
即|PQ|=2xR-2a…①
又由椭圆第二定义知

|PF2|

xP- 1 2

=

|F2Q|

xQ- 1 2

=2．
∴|PQ|=|PF₂|+|F₂Q|=2（x_P-x_Q-1）=4x_R-2…②
将②代入①，得x_R=1-a．
又P、Q是过右焦点F₂的一条弦，且P、Q均在双曲线C的右支上，R是弦PQ的中点．
∴x_R≥2，
即1+a≥2，∴a≤-1．
故所求a的取值范围是a≤-1．

点评：本题考查了双曲线标准方程的求法，考查了直线与双曲线的位置关系，考查了数学转化思想方法，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力，属高考试卷中的压轴题．