Question

5．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，$A（{0\;\;，\;\;\sqrt{3}}）$，抛物线C上的点B满足AB⊥AF，且|BF|=4，则p=2或6．

Answer 1

分析 求出直线AB的方程，与抛物线方程联立，求出B的横坐标，利用抛物线的定义，即可得出结论．

解答 解：由题意，k_AF=-$\frac{2\sqrt{3}}{p}$，
∴直线AB的方程为y=$\frac{p}{2\sqrt{3}}$x+$\sqrt{3}$，
代入y²=2px，可得p²x²-12px+36=0，∴x=$\frac{6}{p}$，
∵|BF|=4，
∴$\frac{6}{p}$+$\frac{p}{2}$=4，∴p=2或6，
故答案为2或6．

点评 本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线位置关系的运用，属于中档题．