Question

19．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E在A₁D₁上，且$\overrightarrow{{A}_{1}E}=2\overrightarrow{E{D}_{1}}$，F在对角线A₁C上，且$\overrightarrow{{A}_{1}F}=\frac{2}{3}\overrightarrow{FC}$．求证：E，F，B三点共线．

Answer 1

分析 根据题意，建立空间直角坐标系O-xyz，写出点的坐标，求出向量$\overrightarrow{BF}$、$\overrightarrow{BE}$与$\overrightarrow{FE}$，利用向量共线证明E，F，B三点共线．

解答 解：根据题意，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示：

则D（0，0，0），B（1，1，0），A₁（1，0，1），C（0，1，0），D₁（0，0，1）；
∵E在A₁D₁上，且$\overrightarrow{{A}_{1}E}=2\overrightarrow{E{D}_{1}}$，
∴E（$\frac{1}{3}$，0，1）；
且F在对角线A₁C上，且$\overrightarrow{{A}_{1}F}=\frac{2}{3}\overrightarrow{FC}$，
∴$\overrightarrow{OF}$-$\overrightarrow{{OA}_{1}}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OF}$），
∴$\overrightarrow{OF}$=$\frac{3}{5}$$\overrightarrow{{OA}_{1}}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{OC}$=（$\frac{3}{5}$，0，$\frac{3}{5}$）+（0，$\frac{2}{5}$，0），
即F（$\frac{3}{5}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5}$）；
∴$\overrightarrow{BF}$=（-$\frac{2}{5}$，-$\frac{3}{5}$，$\frac{3}{5}$），
$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{2}{3}$，-1，1），
$\overrightarrow{FE}$=（-$\frac{4}{15}$，-$\frac{2}{5}$，$\frac{2}{5}$），
∴$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{FE}$，
∴E，F，B三点共线．

点评 本题考查了空间向量的应用问题，也考查了三点共线的证明问题，考查了空间想象能力与逻辑思维能力，是综合性题目．