Question

11．如图所示，在△OAB中，$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，点M是AB的靠近B的一个三等分点，点N是OA的靠近A的一个四等分点，若OM与BN相交于点P，求$\overrightarrow{OP}$．

Answer 1

分析 可连接AP，由B，P，N三点共线便可得到$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BN}$，从而得到$\overrightarrow{AP}=（1-λ）\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{AO}$，而同理由O，P，M三点共线可以得到$\overrightarrow{AP}=（1-μ）\overrightarrow{AO}+\frac{2μ}{3}\overrightarrow{AB}$，这样根据平面向量基本定理即可建立关于λ，μ的方程组，可解出λ，μ．从而可表示出$\overrightarrow{AP}$，而由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AO}$便可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{OP}$．

解答 解：如图，连接AP；

B，P，N三点共线；
∴$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BN}$；
∴$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}=λ（\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}）$；
∴$\overrightarrow{AP}=（1-λ）\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{AO}$①；
同理，由O，P，M三点共线得，$\overrightarrow{AP}=（1-μ）\overrightarrow{AO}+\frac{2μ}{3}\overrightarrow{AB}$②；
由①②得，$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=\frac{2μ}{3}}\\{\frac{λ}{4}=1-μ}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{2}{5}}\\{μ=\frac{9}{10}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{10}\overrightarrow{AO}$；
∴$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AO}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}-\frac{9}{10}\overrightarrow{AO}$=$\frac{3}{5}（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）+\frac{9}{10}\overrightarrow{OA}=\frac{3}{10}\overrightarrow{OA}$$+\frac{3}{5}\overrightarrow{OB}$=$\frac{3}{10}\overrightarrow{a}+\frac{3}{5}\overrightarrow{b}$．

点评 考查共线向量基本定理，向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．