Question

7．设0＜x＜π，则函数y=$\frac{2-cosx}{sinx}$的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{y}$=-$\frac{sinx-0}{cosx-2}$，$\frac{sinx-0}{cosx-2}$表示点A（2，0）和B（cosx，sinx）连线的斜率，数形结合可得$\frac{sinx-0}{cosx-2}$的最小值，由不等式的性质可得．

解答 解：∵0＜x＜π，∴cosx∈（-1，1），
∴由y=$\frac{2-cosx}{sinx}$可得$\frac{1}{y}$=-$\frac{sinx-0}{cosx-2}$，
而$\frac{sinx-0}{cosx-2}$表示点A（2，0）和B（cosx，sinx）连线的斜率，
由0＜x＜π可得点B（cosx，sinx）在单位圆的上半个圆（不含端点），
数形结合可得当直线与上半圆相切时，$\frac{sinx-0}{cosx-2}$取最小值，
由OB=1，OA=2在RT△OAB中可得∠OAB=30°，
此时$\frac{sinx-0}{cosx-2}$=tan150°=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{sinx-0}{cosx-2}$≥-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴-$\frac{sinx-0}{cosx-2}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$\frac{1}{y}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴y≥$\sqrt{3}$
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数的最值，转化为直线的斜率并数形结合是解决问题的关键，属中档题．