Question

9．设A、B、C是三角形的三内角，且lgsinA=0，又sinB、sinC是关于x的方程4x²-2（$\sqrt{3}$+1）x+k=0的两个根，求实数x的值．

Answer 1

分析 由lgsinA=0，解得：sinA=1，结合A的范围，可得A=$\frac{π}{2}$．由韦达定理及诱导公式可得sinB+cosB=$\frac{2（\sqrt{3}+1）}{4}$，两边平方解得：sin2B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得sinBsinC=$\frac{1}{2}$sin2B=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{k}{4}$，即可解得k的值．

解答 解：∵lgsinA=0，解得：sinA=1，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{2}$．
∵sinB、sinC是关于x的方程4x²-2（$\sqrt{3}$+1）x+k=0的两个根，
∴sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{π}{2}$-B）=sinB+cosB=$\frac{2（\sqrt{3}+1）}{4}$，两边平方可得：1+sin2B=$\frac{2（\sqrt{3}+1）}{4}$，解得：sin2B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinBsinC=sinBsin（$\frac{π}{2}$-B）=sinBcosB=$\frac{1}{2}$sin2B=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{k}{4}$，解得：k=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，同角三角函数关系式及诱导公式的应用，考查了韦达定理，倍角公式的应用及计算能力，属于中档题．