Question

14．已知方程ax²+bx+c=0（a≠0）有一非零根x₁，方程-ax²+bx+c=0有一非零根x₂
（1）令f（x）=$\frac{a}{2}$x²+bx+c，求证：f（x₁）f（x₂）＜0
（2）证明：方程$\frac{a}{2}$x²+bx+c=0必有一根介于x₁和x₂之间．

Answer 1

分析 （1）由方程ax²+bx+c=0（a≠0）有一非零根x₁，方程-ax²+bx+c=0有一非零根x₂，可得bx₁+c=-$a{x}_{1}^{2}$，bx₂+c=$a{x}_{2}^{2}$，代入f（x₁）f（x₂）=$-\frac{{3a}^{2}}{4}{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}$，即可证明．
（2）由（1）可得：f（x₁）f（x₂）＜0．利用函数零点存在定理即可证明．

解答 证明：（1）∵方程ax²+bx+c=0（a≠0）有一非零根x₁，方程-ax²+bx+c=0有一非零根x₂，
∴$a{x}_{1}^{2}$+bx₁+c=0，$-a{x}_{2}^{2}$+bx₂+c=0，
∴bx₁+c=-$a{x}_{1}^{2}$，bx₂+c=$a{x}_{2}^{2}$，
∴f（x₁）f（x₂）=$（\frac{a}{2}{x}_{1}^{2}+b{x}_{1}+c）$$（\frac{a}{2}{x}_{2}^{2}+b{x}_{2}+c）$
=$（\frac{a}{2}{x}_{1}^{2}-a{x}_{1}^{2}）$$（\frac{a}{2}{x}_{2}^{2}+a{x}_{2}^{2}）$
=$-\frac{{3a}^{2}}{4}{x}_{1}^{2}{x}_{2}^{2}$＜0．
∴f（x₁）f（x₂）＜0．
（2）由（1）可得：f（x₁）f（x₂）＜0．
∴方程$\frac{a}{2}$x²+bx+c=0必有一根介于x₁和x₂之间．

点评 本题考查了一元二次方程的实数解、函数零点存在定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．