Question

10．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤10成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，若f（x）=x³-2x+7，g（x）=x+m在[2，3]上是“密切函数”，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [15，+∞）
• B． （-∞，19]
• C． （15，19）
• D． [15，19]

Answer 1

分析 根据“密切函数”的定义列出绝对值不等式|x³-2x+7-（x+m）|≤10，可得x³-3x-3≤m≤x³-3x+17在x∈[2，3]上成立，令F（x）=x³-3x-3，x∈[2，3]，G（x）=x³-3x+17，x∈[2，3]，从而转化为F（x）_max≤m≤g（x）_min，可求实数m的取值范围．

解答 解：∵f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，
则|f（x）-g（x）|≤10，即|x³-2x+7-（x+m）|≤10在[2，3]上成立，
化简得x³-3x-3≤m≤x³-3x+17在[2，3]上成立，
令F（x）=x³-3x-3，x∈[2，3]，
由F′（x）=3x²-3＞0在x∈[2，3]成立，可得F（x）在[2，3]上为增函数，
则F（x）_max=F（3）=15；
令G（x）=x³-3x+17，x∈[2，3]，
由G′（x）=3x²-3＞0在x∈[2，3]成立，可得G（x）在[2，3]上为增函数，
则G（x）_min=G（2）=19．
∴15≤m≤19．
故选：D．

点评 本题考查恒成立问题，要求学生会根据题中新定义的概念列出不等式，然后求解解绝对值不等式，由不等式进行转化为求解函数在闭区间上的最值，是中档题．