Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²
（1）求{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=

1

an•an+1

，求证b₁+b₂+b₃+…+b_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出{a_n}的通项公式．
（2）证明：b_n=

1

an•an+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由此利用裂项求和法能证明b₁+b₂+b₃+…+b_n＜

1

2

．

解答： （1）解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=n²，
∴n=1时，a₁=S₁=1；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时，2n-1=1=a_n，
∴a_n=2n-1．
（2）证明：b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

1

2

-

1

4n+2

＜

1

2

．
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n＜

1

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．