Question

14．设函数f（x）=e^ax-1，其中a∈R，e=2.718…
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性
（Ⅱ）当a=1时，求f（x）在x=1处的切线方程
（Ⅲ）求证：当x＞1时．$\frac{1}{x}$$＞\frac{e}{{e}^{x}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，对a分类讨论，a=0，a＞0，a＜0，结合指数函数的值域，即可讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；
（Ⅲ）要证$\frac{1}{x}$$＞\frac{e}{{e}^{x}}$（x＞1），即$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{e}^{x}}$＞0，也就是证$\frac{{e}^{x}}{x}$＞e，令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，求出导数，判断单调性，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=e^ax-1，
导数f′（x）=ae^ax-1，
当a=0时，f（x）=e^-1，无单调性；
当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在R上递增；
当a＜0时，f′（x）＜0，f（x）在R上递减；
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=e^x-1，
导数f′（x）=e^x-1，
f（x）在x=1处的切线的斜率为k=e⁰=1，
切点为（1，1），
则f（x）在x=1处的切线的方程为y-1=x-1，
即为x-y=0；
（Ⅲ）证明：要证$\frac{1}{x}$$＞\frac{e}{{e}^{x}}$（x＞1），
即$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{e}^{x}}$＞0，
也就是证$\frac{{e}^{x}}{x}$＞e，
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，则h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）_min=h（1）=e，
即当x＞1时，h（x）＞e，
∴当x＞1时，$\frac{1}{x}$$＞\frac{e}{{e}^{x}}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式的证明，注意运用分析法和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．