Question

4．在R上定义运算$|\begin{array}{l}{a}&{c}\\{b}&{d}\end{array}|$=ad-bc，若f（x）=$|\begin{array}{l}{2sinx}&{2sinx}\\{\sqrt{3}sinx}&{cosx}\end{array}|$，x∈[0，π]，则f（x）的递增区间为（　　）

• A． [0，$\frac{π}{6}$]，[$\frac{2π}{3}$，π]
• B． [$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]
• C． [0，$\frac{π}{12}$]，[$\frac{7π}{12}$，π]
• D． [$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]

Answer 1

分析 根据查新定义，三角恒等变换化简函数的解析式，再依据正弦函数的单调性，求得f（x）的递增区间．

解答 解：f（x）=$|\begin{array}{l}{2sinx}&{2sinx}\\{\sqrt{3}sinx}&{cosx}\end{array}|$=2sinxcosx-2$\sqrt{3}$sin²x=sin2x-2$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$ 
=2（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）-$\sqrt{3}$=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
再结合x∈[0，π]，可得函数的增区间为[0 $\frac{π}{12}$]、[$\frac{7π}{12}$ π]，
故选：C．

点评 本题主要考查新定义，三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于基础题．