Question

15．已知$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为θ，定义：$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的“假投影”为|$\overrightarrow{a}$|$\overrightarrow{a}$cosθ，记为J（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$），若$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow{b}$=（-1，3），则|J（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$）|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为θ根据向量的夹角公式求出cosθ，|$\overrightarrow{a}$|，再根据新定义即可求出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为θ，$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow{b}$=（-1，3），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2×（-1）+1×3=1，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{10}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}•\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$
∴J（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$）=|$\overrightarrow{a}$|$\overrightarrow{a}$cosθ=$\sqrt{5}$$•\frac{\sqrt{2}}{10}$•$\overrightarrow{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$$•\overrightarrow{a}$，
∴|J（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$）|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$•$\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查了向量的数量积的运算和向量的夹角公式以及新定义，属于中档题．