Question

12．若数列b_n=$\frac{n-2}{{2}^{n}}$，如果对任意的n∈N^*，都有$\frac{7}{8}$+b_n≤t²恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 对n分类讨论，利用数列的单调性与一元二次不等式的解法即可得出．

解答 解：b_n=$\frac{n-2}{{2}^{n}}$，
可得：b₁=-$\frac{1}{2}$，b₂=0，b₃=$\frac{1}{8}$，
n≥3时，b_n＞0，b_n+1-b_n=$\frac{n-1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n}}$=$\frac{3-n}{{2}^{n+1}}$
∴n=3时，b₃=b₄，n≥4时，b_n+1＜b_n，此时数列{b_n}单调递减，
因此n=3或4时，b_n取得最大值$\frac{1}{8}$，
∵对任意的n∈N^*，都有$\frac{7}{8}$+b_n≤t²恒成立，
∴$\frac{7}{8}$+$\frac{1}{8}$≤t²，
∴t≤-1或t≥1，
故t的取值范围为（-∞，-1]∪[1，+∞）

点评 本题考查了数列的单调性与一元二次不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．