Question

3．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（1）若椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，判断C₂与C₁是否相似？如果相似，求出C₂与C₁的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且焦点在x轴上、短半轴长为b的椭圆C_b的标准方程；若在椭圆C_b上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围；
（3）如图：直线y=x与两个“相似椭圆”M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1和
M_λ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=λ²（a＞bo，0＜λ＜1）分别交于点A，B和点C，D，试在椭圆M和椭圆M_λ上分别作出点E和点F（非椭圆顶点），使△CDF和△ABE组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）

Answer 1

分析 （1）由题意椭圆C₂与C₁相似，由椭圆C₂的特征三角形是腰长为4，底边长为4$\sqrt{3}$的等腰三角形，能求出C₂与C₁的相似比．
（2）椭圆C_b的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（b＞0），设直线l_MN：y=-x+t，点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中点为（x₀，y₀），由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得5x²-8tx+4（t²-b²）=0，由此利用韦达定理、根的判别式能求出实数b的取值范围．
（3）法1：过原点作直线y=kx（k≠1），交椭圆M和椭圆M₁于点E和点F，得到△CDF和△ABE即为所求相似三角形，且相似比为λ．
法2：过点A、点C分别做x轴（或y轴）的垂线，交椭圆M和椭圆M₁点E和点F，得到△CDF和△ABE即为所求相似三角形，且相似比为λ．

解答 解：（1）椭圆C₂与C₁相似．…（2分）
因为椭圆C₂的特征三角形是腰长为4，底边长为4$\sqrt{3}$的等腰三角形，
而椭圆C₁的特征三角形是腰长为2，底边长为2$\sqrt{3}$的等腰三角形，
因此两个等腰三角形相似，且相似比为2：1．…（5分）
（2）椭圆C_b的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（b＞0），…（6分）
设直线l_MN：y=-x+t，点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，∴5x²-8tx+4（t²-b²）=0，
则${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{4t}{5}$，${y}_{0}=\frac{t}{5}$，…（8分）
∵中点在直线y=x+1上，∴$\frac{t}{5}=\frac{4t}{5}+1$，t=-$\frac{5}{3}$，…（10分）
即直线l_MN的方程为：${l}_{MN}：y=-x-\frac{5}{3}$，
由题意可知，直线l_MN与椭圆C_b有两个不同的交点，
即方程$5{x}^{2}-8（-\frac{5}{3}）x+4[（-\frac{5}{3}）^{2}-{b}^{2}]=0$有两个不同的实数解，
∴△=（$\frac{40}{3}$）²-4×5×4×（$\frac{25}{9}$-b²）＞0，即b＞$\frac{\sqrt{5}}{3}$．…（13分）
（3）作法1：过原点作直线y=kx（k≠1），交椭圆M和椭圆M₁于点E和点F，

则△CDF和△ABE即为所求相似三角形，且相似比为λ．…（18分）
作法2：过点A、点C分别做x轴（或y轴）的垂线，交椭圆M和椭圆M₁点E和点F，

则△CDF和△ABE即为所求相似三角形，且相似比为λ．…（18分）

点评 本题考查两个椭圆是否相似的判断与相似比的求法，考查实数的取值范围的求法，考查满足条件的点的作法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．