Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin²x-cos²x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）若f（a）=

3

5

，2α是第一象限角，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（I）利用两角差的余弦公式，二倍角公式化简函数f（x）=sin（2x-

π

6

 ），由2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求出
函数f（x）的减区间．
（II）根据sin（2a-

π

6

 ）=

3

5

，2kπ-

π

6

＜2a-

π

6

＜2kπ+

π

3

，k∈z，利用同角三角函数的基本关系 求出cos（2a-

π

6

 ）
的值，由sin2a=sin[（2a-

π

6

 ）+

π

6

]，利用两角和的正弦公式求得结果．

解答：解：（I）因为函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin²x-cos²x=

1

2

 cos2x+

3

2

sin2x-cos2x 
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

 ），∴当 2kπ+

π

2

≤x≤2kπ+

3π

2

，k∈z，
 即 kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

  时，函数 f（x）递减．
故，所求函数f（x）的减区间为[kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

]，k∈z．
（II）因为2a是第一象限角，且 sin（2a-

π

6

 ）=

3

5

，所以，2kπ-

π

6

＜2a-

π

6

＜2kπ+

π

3

，k∈z．
由 f（a）=sin（2a-

π

6

 ）=

3

5

，得cos（2a-

π

6

 ）=

4

5

．所以，sin2a=sin[（2a-

π

6

 ）+

π

6

]=

3 3 +4

10

．

点评：本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值．