Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-cos²x-

1

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足sinB-2sinA=0且c=3，f（C）=0，求a、b的值．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，即可求出f（x）的最小值，以及最小正周期；
（2）由f（C）=0，及（1）得出的f（x）解析式求出C的度数，利用正弦定理化简已知等式得到a与b的关系式，再由c与cosC的值，利用余弦定理列出关系式，联立求出a与b的值即可．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
∴f（x）的最小值为-2，最小正周期为π；
（2）∵f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，即sin（2C-

π

6

）=1，
∵0＜C＜π，-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，∴2C-

π

6

=

π

2

，∴C=

π

3

，
∵sinB-2sinA=0，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得b=2a，①
∵c=3，由余弦定理，得9=a²+b²-2abcos

π

3

，即a²+b²-ab=9，②
解方程组①②，得

a= 3 b=2 3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．