Question

如图，在直平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，A′C与底面ABCD所成角的大小为arctan2，M为A′A的中点．
（1）求四棱锥M-ABCD的体积；
（2）求异面直线BM与A′C所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接AC，由底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，可得AC=2．由直平行六面体的性质可得∠A′CA是A′C与底面ABCD所成角，利用tan∠A′CA=

A′A

AC

可得A′A=4．即可得出四棱锥M-ABCD的体积V=

1

3

•S菱形ABCD•EA．
（2）连接AC，BD，相交于点O，连接MO．则点O为AC的中点．利用三角形的中位线定理可得MO∥A′C．因此∠BMO或其补角为异面直线BM与A′C所成角．利用余弦定理可得：cos∠BMO=

BM2+OM2-BO2

2BM•OM

即可得出．

解答： 解：（1）连接AC，
∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，
∴AC=2．∵直平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，∴∠A′CA是A′C与底面ABCD所成角，
∵∠A′CA=arctan2，∴tan∠A′CA=

A′A

AC

=2，∴A′A=4．
∵M为A′A的中点，∴MA=2．底面菱形ABCD的面积S=2×2×sin60°=2

3

．
∴四棱锥M-ABCD的体积V=

1

3

•S菱形ABCD•EA=

1

3

×2

3

×2=

4 3

3

．
（2）连接AC，BD，相交于点O，连接MO．
则点O为AC的中点．
又∵M为A′A的中点，∴MO∥A′C．
∴∠BMO或其补角为异面直线BM与A′C所成角．
在△BMO中，BO=

3

，MO=

AO2+AM2

=

5

，BM=

AB2+MA2

=2

2

．
由余弦定理可得：cos∠BMO=

BM2+OM2-BO2

2BM•OM

=

10

4

．
∴异面直线BM与A′C所成角为arccos

10

4

．

点评：本题考查了直平行六面体的性质、菱形的性质、四棱锥的体积、异面直线所成的角、三角形的中位线定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．